Question

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，过B点作⊙O₁的切线交⊙O₂于D点，连接DA并延长⊙O₁相交于C点，连接BC，过A点作AE∥BC与⊙O相交于E点，与BD相交于F点．
（1）求证：EF•BC=DE•AC；
（2）若AD=3，AC=1，AF=

3

，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接AB，证明△ACB∽△FED，根据相似三角形的性质，可得EF•BC=DE•AC；
（2）先证出△AFB∽△BAC，利用相似三角形的性质，得

AF

AB

=

AB

BC

，可求出AB的长；连接BE，利用△ACB∽△EBD，利用相似三角形的性质，可得

AB

DE

=

CB

DB

，可求出DE的长，再将所求数据代入EF•BC=DE•AC；便可求出EF的长．

解答：（1）证明：连接AB，切线DB另一端为G
∵BD是切线
∴∠ABD=∠ACB，∠CBG=∠CAB
∵∠ABD=∠DEF
∴∠ACB=∠DEF
∵AE∥BC
∴∠CBG=∠AFB
∵∠AFB=∠DFE
∴∠CAB=∠DFE
∴△ABC∽△FDE
∴

BC

DE

=

AC

EF

∴EF•BC=DE•AC；

（2）解：∵CB∥AE，
∴

AD

DC

=

AF

CB

，
∴

3

4

=

3

CB

，
∴CB=

4 3

3

，
∵BD为⊙O₁的切线，
∴∠ABD=∠C，
又∵CB∥AE，
∴∠ABC=∠BAF，
∴△AFB∽△BAC，
∴

AF

AB

=

AB

BC

，
∴AB²=AF•BC=

3

×

4 3

3

=4，
∴AB=2．
又∵DB²=AD•CD，
∴DB=

3×4

=2

3

，
连接BE，∴△ACB∽△EBD，
∴

AB

DE

=

CB

DB

，
∴

2

DE

=

4 3 3

2 3

，
∴DE=3．
∵EF•BC=DE•AC，
∴EF•

4 3

3

=3×1，
∴EF=

3 3

4

．

点评：本题不仅考查了和圆相关的相似三角形的性质，还考查了切割线定理、圆内接四边形的性质等知识，有一定的难度．