Question

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，直线BD切⊙O₁于点B，交⊙O₂于点C、D，直线DA交⊙O₁于点E．
（1）求证：∠BAC=∠ABC+∠D；
（2）求证：AB²=AC•AE．

Answer 1

分析：（1）过A点作⊙O₁和⊙O₂的公切线AM，利用弦切角定理可得∠MAC=∠D，又MA、MB都是⊙O₁的切线，就有MA=MB，故∠ABC=∠BAM，等量代换可证；
（2）连接BE，利用弦切角定理，可得∠E=∠ABC，利用三角形外角性质、结合（1）的结论可证∠EAB=∠BAC，那么可证△ABE∽△ACB，可得比例线段，从而得证．

解答：证明：（1）过A点作⊙O₁和⊙O₂的公切线AM，（1分）
则∠MAC=∠D，
∵CB是⊙O₁的切线，
∴∠ABC=∠BAM，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=∠ABC+∠D；（4分）

（2）连接BE，（5分）
则∠E=∠ABC，
又∵∠EAB=∠ABD+∠D=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴

AE

AB

=

AB

AC

，
即AB²=AC•AE． （8分）

点评：本题关键是作两圆的公切线；主要利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识．