Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：

①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x﹣1；（3）P（）或P（﹣4.5，0）；当t=时，S△MDN的最大值为．

【解析】

（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；
（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0，则-x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=-x+b，即可得到结论；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当或时，△PBC∽△ABD，解方程组得D(4,5)，求得

设P的坐标为（x，0），代入比例式解得或x=4.5,即可得到或P(4.5,0)；
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到sin∠BAF 求得求得 由于于是得到 即可得到结果．

(1)由题意知：

解得

∴二次函数的表达式为

(2)在 中,令y=0,则

解得：

∴B(3,0)，

由已知条件得直线BC的解析式为y=x+3，

∵AD∥BC，

∴设直线AD的解析式为y=x+b，

∴0=1+b，

∴b=1，

∴直线AD的解析式为y=x1；

(3)①∵BC∥AD，

∴∠DAB=∠CBA，

∴只要当：或时,△PBC∽△ABD，

解得D(4,5)，

∴

设P的坐标为(x,0)，

即或

解得或x=4.5,

∴或P(4.5,0)，

②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，

在Rt△AFB中,

∴sin∠BAF

∴

∴

∵

又∵

∴

∴当时,的最大值为