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【题目】正方形OABC的边长为2,其中OAOC分别在x轴和y轴上,如图①所示,直线l经过AC两点.

(1)若点P是直线l上的一点,当△OPA的面积是3时,请求出点P的坐标;

(2)如图②,坐标系xOy内有一点D(12),点E是直线l上的一个动点.

①请求出|BEDE|的最小值和此时点E的坐标;

②若将点D沿x轴翻折到x轴下方,直接写出|BEDE|的最大值,并写出此时点E的坐标.

【答案】1P(13)P (5,-3);(2最小值为 E 最大值为,点E (2,4).

【解析】1)如图1中,求出直线l的解析式为y=x+2.设点P的坐标为(mm+2),由题意得×2×|m+2|=3,解方程即可

2)如图2中,连接OD交直线l于点E,则点E为所求,此时|BE+DE|=|OE+DE|=ODOD即为最大值.求出直线OD的解析式,利用方程组求出等E坐标即可

3)如图3中,OB关于直线l对称,所以BE=OE|BE-DE|=|OE-DE|.由两边之差小于第三边知,当点ODE三点共线时,|OE-DE|的值最大,最大值为OD.求出直线OD的解析式,利用方程组求出交点E坐标即可.

解:(1)如图①,由题意知点A、点C的坐标分别为(20)(02)

设直线l的函数表达式ykxb(k≠0)

其经过点A(20)和点C(02),代入得

解得

∴直线l的解析式为yx2.

设点P的坐标为(mm2),由题意得×2×|m2|3

m1或-5.

P1(13)P2 (5,-3)

(2)①如图②,连接OD交直线l于点E,则点E为所求,

此时|BEDE||OEDE|ODOD即为最小值.

OD所在直线为yk1x(k1≠0),经过点D(12)

k1=-2

∴直线OD的解析式为y=-2x.

解得

∴点E的坐标为.

又∵点D的坐标为(12)

∴由勾股定理可得OD.

|BEDE|的最小值为.

②如图③OB关于直线l对称,

BEOE

|BEDE||OEDE|.

由三角形的两边之差小于第三边知,当点ODE三点共线时,|OEDE|的值最大,最大值为OD.

D(1,-2)

∴直线OD的解析式为y2xOD .

解得

∴点E的坐标为(24)

|BEDE|的最大值为,此时点E的坐标为(24)

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