Question

已知：如图，直线y₁=mx-3m与x轴交于点A，直线y₂=kx+b与y轴交于点C，两直线交于点B．
（1）点A的坐标为______；
（2）若∠BCO与∠BAO互为补角，则两直线的位置关系为______．
（3）在上述条件下，若AB=BC，△BCO的面积为7，求过点B的反比例函数的解析式．
（4）在上述条件下，若Q为x轴上的一点，且以A、B、C、Q四点为顶点的四边形为梯形，求点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）令y₁=0，则x=3，
∴A点坐标是（3，0）；

（2）∵∠BCO与∠BAO互为补，
∴∠BCO+∠BAO=180°，
∵四边形ABCO的内角和等于360°，∠O=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC；

（3）设B点坐标是（c，d），过B分别向x、y轴做垂线段，交点分别F、E，
∵∠BCO与∠BAO互为补角，
∴∠BCO+∠BAO=180°，
∵∠BAO+∠BAF=180°，
∴∠BCE=∠BAF，
在△BCE和△BAF中，
∵，
∴△BCE≌△BAF，
∴BF=BE，CE=AF，
∴c=d，b-c=c-3，
∵S_△BCO=7，
∴cb=7，b=2c-3，
解得或（不合题意，舍去）
故B点坐标是（，），
那么过B点的反比例函数的解析式是y=（x＞0）；

（4）如右图，过点C作CQ∥AB，交x轴于点Q，
∵直线y₁=mx-3m过B点，
∴y₁=7x-21，
∵CQ∥AB，
∴过C、Q的直线可设为y=7x+f，
∵C点坐标是（0，4），
∴过C、Q的直线是y=7x+4，
令y=0，则x=-，
∴Q点的坐标是（-，0）．
过点B作BQ′∥AC，交x轴于Q′，
∵直线AC过A、C，
∴直线AC的解析式是y=-x+4，
∵BQ′∥AC，
∴直线BQ′的解析式可设为y=-x+b，
把（，）代入y=-x+b中，得
b=，
故直线BQ′的解析式是y=-x+，
令y=0，则x=，
故Q′的坐标是（，0）．
∴所求Q的坐标是（-，0）或（，0）．
分析：（1）令y₁=0，易求x=3，从而可得点A的坐标；
（2）由于∠BCO与∠BAO互为补角，四边形ABCO的内角和等于360°，∠O=90°，易求∠ABC=90°，故位置关系为垂直；
（3）先设B点坐标是（c，d），过B分别向x、y轴做垂线段，交点分别F、E，∠BCO与∠BAO互为补角，易得∠BCE=∠BAF，利用AAS可证△BCE≌△BAF，那么BF=BE，CE=AF，于是c=d，b-c=c-3①，再结合S_△BCO=7=bc②，①②可得关于b、c的方程组，解可求b、c的值，进而可求B点坐标，易求过B点的反比例函数解析式；
（4）B点坐标已求，进而可求y₁的函数解析式，由（3）也可知道C点的坐标，过点C作CQ∥AB，交x轴于点Q，过C、Q的直线平行于直线AB，且与y轴交于点C，从而易求过C、Q的直线的解析式，令y=0，可求x=-，这就是Q点的坐标．
点评：本题是一次函数综合题，解题的关键是利用AAS证明△BCE≌△BAF，求出点B的坐标．