Question

如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　；②∠CAO=　 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ▲ ；（直接写出答案）

（2）设OA的中点为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．

（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）①（6，2）。  ②30。③（3，3）。

（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。    （3）当0≤x≤3时，

如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得，∴EF=（3+x），

此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时，如图2，

当5＜x≤9时，如图3，

当x＞9时，如图4，

。

综上所述，S与x的函数关系式为：

 。