Question

18．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC边于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使点N落在射线PD上，连CM、DM，设运动时间为t（单位：s）
（1）用含t的代数式表示BQ与PQ长；
（2）若△DMN与△CMQ的面积之比为5：3，求出t的值；
（3）在运动过程中，是否存在t的值，使得△CMQ与△DMN相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用锐角三角函数求出tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{4}$，即可得出PQ，再用勾股定理即可求出BQ；
（2）由（1）知MN=MQ=4t，利用锐角三角函数和勾股定理求出MH，最后用t表示三角形的面积，即可建立方程求解即可得出t值；
（3）分两种情况讨论计算，①先判断出点C，M，N在同一条直线上，得出MQ∥BD，进而得出比例式建立方程求解即可；
②判断出出点M只能在CD上，得出只有△DMN∽△MQC，即得出比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）如图1，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴BD=10，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PQ=QM=MN=PN，∠DNM=∠PQM=∠BPQ=90°，
在Rt△BPQ中，PB=4t，
∴tan∠CBD=$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PQ}{4t}=\frac{3}{4}$，
∴PQ=3t，
∴QM=MN=PN=PQ=3t，
根据勾股定理得，BQ=$\sqrt{P{B}^{2}+P{Q}^{2}}$=5t，
（2）①点N在BD上，由（1）知，∠PBQ+∠PQB=90°，∠CQM+∠PQB=90°，
∴∠PBQ=∠CQM，
过点M作MH⊥BC于H，
在Rt△MHQ中，tan∠MQH=tan∠PBQ=$\frac{MH}{HQ}=\frac{3}{4}$，
∵QM=3t，
∴MH=$\frac{3}{5}×3t$=$\frac{9}{5}$t，
∵CQ=BC-BQ=8-5t，DN=BD-PB-PN=10-7t，
∴S_△CMQ=$\frac{1}{2}$CQ×MH=$\frac{1}{2}$×（8-5t）×$\frac{9}{5}$t=$\frac{9}{10}$t（8-5t），
S_△DMN=$\frac{1}{2}$DN×MN=$\frac{1}{2}$×（10-7t）×3t=$\frac{3}{2}$t（10-7t）
∵△DMN与△CMQ的面积之比为5：3，
∴$\frac{\frac{3}{2}t（10-7t）}{\frac{9}{10}t（8-5t）}$=$\frac{5}{3}$，
∴t=1．
②当点N在BD延长线上时，如图1-1，
同①的方法得，t=$\frac{3}{2}$（只把①中的DN换成7t-10）
（3）存在，
如图2，∵∠PBQ+∠BDC=90°，∠CQM=∠PBQ，
∴∠CQM+∠BDC=90°，
∵∠CQM+∠MCQ=90°，
∴∠MCQ=∠BDC，
∵△CMQ与△DMN相似，且∠DNM=90°，
∴∠CMQ=90°或∠MCQ=90°，
①当∠CMQ=90°时，
∵∠NMQ=90°，
∴点C，M，N在同一条直线上，
∵∠CNP=∠CMQ=90°，∴△DMN∽△QCM，∴$\frac{DN}{MQ}=\frac{MN}{CM}$
∵MQ=MN=3t，BN=7t，CM=$\frac{9}{4}$t，DN=10-7t
∴$\frac{10-7t}{3t}=\frac{3t}{\frac{9}{4}t}$，
∴t=$\frac{10}{11}$，
②当∠MCQ=90°时，点M在CD上，如图3，
∵∠QMN=90°，
∴∠DMN+∠CMQ=90°，
∵∠CMQ+∠CQM=90°，
∴∠DMN=∠CMQ，
∴只有△DMN∽△MQC，
∴$\frac{DN}{MN}=\frac{CM}{CQ}$，
∵$\frac{CM}{CQ}=\frac{3}{4}$，MN=3t，DN=10-7t，
∴$\frac{10-7t}{3t}=\frac{3}{4}$，
∴t=$\frac{40}{37}$，
即：使得△CMQ与△DMN相似的t的值为$\frac{10}{11}$或$\frac{40}{37}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形的面积的计算方法，解本题的关键是判断出△CMQ与△DMN相似的两种可能，难点是每一种情况下，判断出对应点．