Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，以C为圆心，CA为半径作圆弧交BC于点E，交CD的延长线于点F，以AC上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点G，交AD于点N，若AC=6cm，OA=2cm，则图中阴影部分的面积为 ^{$\frac{23}{3}π-5\sqrt{3}$，}cm²（结果不取近似值）．

Answer 1

分析 先求出∠ACD=90°，∠AOM=120°，再分别求出S_扇形ACF，S_扇形AON，S_△ACD，S_△AON最后求面积的和差即可

解答 解：如图
，
连接ON，OG，并延长GO交AD于M，
在Rt△OGC中，OC=4，OG=2，
∴∠OCG=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=30°，
∵OA=ON，
∴∠CAD=∠ANO=30°，
在Rt△OAM中，OM=$\frac{1}{2}$OA=1，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，CD=ACtan30°=2$\sqrt{3}$，
∴S_扇形ACF=$\frac{90π×{6}^{2}}{360}$=9π，
S_扇形AON=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{4}{3}$π，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC×CD=6$\sqrt{3}$，
S_△AON=$\frac{1}{2}$AN×OM=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形ACF-S_△ACD-S_扇形AON+S_△AON=9π-6$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}π$+$\sqrt{3}$=$\frac{23}{3}π-5\sqrt{3}$cm²．
故答案为$\frac{23}{3}π-5\sqrt{3}$．

点评 此题是切线的性质，主要考查了不规则图形面积的求法，通常化成几个规则图形面积，涉及扇形的面积的计算，弓形，三角形面积的计算，熟记基本图形计算面积的公式是解本题的关键．