Question

17．如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知抛物线①：y=-2x²+4x+3与②：y=2x²+4x-1，请判断抛物线①与抛物线②是否关联，并说明理由；
（2）将抛物线C₁：y=-2x²+4x+3沿x轴翻折，再向右平移m（m＞0）个单位，得到抛物线C₂，若抛物线C₁与C₂关联，求m的值；
（3）点A为抛物线C₁：y=-2x²+4x+3的顶点，点B为抛物线C₁关联的抛物线的顶点（点B位于x轴的下方），是否存在以AB为斜边的等腰直角三角形ABC，使其直角顶点C在x轴上？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两抛物线的关联依次判断即可；
（2）根据两抛物线关联的定义直接列式得出结论；
（3）分当点C位于AD左侧和当点C位于AD右侧，借助关联的意义设出点C坐标，表示出点B坐标代入抛物线解析式即可求出点C坐标．

解答 解：（1）由①知，y=-2（x-1）²+5，
∴抛物线①：y=-2x²+4x+3的顶点坐标为（1，5），
把x=1代入抛物线②：y=2x²+4x-1，得y=5，
∴抛物线①的顶点在抛物线②上，
又由②y=2（x+1）²-3，
∴抛物线②的顶点坐标为（-1，-3），
把x=-1代入抛物线①中，得，y=-3，
∴抛物线②的顶点在抛物线①上，
∴抛物线①与抛物线②关联．
（2）抛物线y=-2x²+4x+3沿x轴翻折后抛物线为y=2x²-4x-3，
即：y=2（x-1）²-5，
设平移后的抛物线解析式为y=2（x-1-m）²-5，
把x=1，y=5代入得2（1-1-m）²-5=5，
∴m=±$\sqrt{5}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{5}$，
（3）①当点C位于AD左侧时，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图1，

∴△ACD≌△CBE，
∴CE=AD，BE=CD
设C（c，0），
∵点B在x轴下方，
∴点B的纵坐标为c-1；
Ⅰ、当点C在x轴负半轴上时，即：c＜0，
∴B（c+5，c-1），
把B（c+5，c-1），代入y=-2（x-1）²+5中得，2c²+17c+26=0，
∴c=-2或c=-$\frac{13}{2}$，
∴C（-2，0）或（-$\frac{13}{2}$，0），
Ⅱ、当点C在x轴正半轴上时，即：0＜c＜1
把B（5-c，c-1），代入y=-2（x-1）²+5中得，2c²-15c+26=0，
∴c=$\frac{15±\sqrt{17}}{4}$（不符合题意，舍），
②当点C位于AD右侧时，
设C（c，0），同①的方法得出B（c-5，1-c），
将B（c-5，1-c）代入y=-2（x-1）²+5中得，2c²-25c+68=0，
∴c=4或c=$\frac{17}{2}$，
∴C（4，0）或（$\frac{17}{2}$，0），
即：点C的坐标为：（-2，0）或（-$\frac{13}{2}$，0）或（4，0）或（$\frac{17}{2}$，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，分类讨论的思想，理解两抛物线关联是解本题的关键．