Question

2．如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线 与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
（3）求四边形ABOD的面积．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先确定出PA+PB最小时的点P的位置，再确定出直线AB'的解析式即可；
（3）依次求出△AOB和△AOD的面积即可．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y=a（x-1）²+4，
把点B（0，3）代入得，a+4=3，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4；
（2）如图，
作点B关于x轴的对称点B′的坐标为（0，-3），
连接AB′与x轴的交点即为点P，
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则4=k+b-3=b
解得k=7    b=-3
∴直线AB′的解析式为y=7x-3，
令y=0，则7x-3=0，解得x=$\frac{3}{7}$
所以，当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（$\frac{3}{7}$，0）．
（3）连接AO．
当y=0时，-（x-1）²+4=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为D（3，0），C（-1，0），
∴S_{四边形ABOD}=S_△AOB+S_△AOD=7.5

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值问题，直线交点的确定，三角形的面积的计算，用待定系数法求直线是解本题的关键，确定点P的位置是解本题的难点．