Question

7．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：

请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：
（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a（用含a的式子表示）；
（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为等边三角形；
（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质即可得到结论；
（2）根据折叠的性质即可得到结论；
（3）由（2）知△CDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到CD=CE=DE=$\frac{1}{2}$CO÷cos30°=$\frac{1}{3}$a，
求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=$\frac{1}{3}$a，BG=BF=GF=$\frac{1}{3}$a，∠CKH=∠BHK=120°，由于AB=BC=AC=a，于是得到结论．

解答 解：（1）∵正三角形ABC的边长为a，
由折叠的性质可知，点O是三角形的重心，
∴CO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$a；
（2）△CDE为等边三角形；
故答案为：等边；
（3）由（2）知△CDE为等边三角形，
∴CD=CE=DE=$\frac{1}{2}$CO÷cos30°=$\frac{1}{3}$a，
∠ADE=∠BED=120°，
同理可得，AH=AK=KH=$\frac{1}{3}$a，BG=BF=GF=$\frac{1}{3}$a，∠CKH=∠BHK=120°，
∵AB=BC=AC=a，
∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=$\frac{1}{3}$a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，
∴六边形KHGFED是一个正六边形．

点评 本题考查了正多形与圆，折叠的性质，三角形的重心的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．