Question

18．方程2x²-xy-3x+3y+2006=0的正整数解（x，y）为（4，2026）；（8，442）；（16，19）；（34，136）；（68，170）；（158，332）；（406，820）；（2018，4040）．

Answer 1

分析 先将原方程化成（x-3）（y-3-2x）=5×13×31，再分八种情况进行讨论计算即可得出结论．

解答 解：∵2x²-xy-3x+3y+2006=0，
∴（2x²-6x）-（xy-3y）+（3x+9）=-2015，
∴（x-3）（2x-y+3）=-2015，
∴（x-3）（y-3-2x）=5×13×31，
∴①$\left\{\begin{array}{l}{x-3=1}\\{y-3-2x=2015}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2026}\end{array}\right.$，即：（x，y）=（4，2026）；
②$\left\{\begin{array}{l}{x-3=5}\\{y-3-2x=403}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=422}\end{array}\right.$，即：（x，y）=（8，442）；
③$\left\{\begin{array}{l}{x-3=13}\\{y-3-2x=155}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=16}\\{y=190}\end{array}\right.$，即：（x，y）=（16，19）；
④$\left\{\begin{array}{l}{x-3=31}\\{y-3-2x=65}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=34}\\{y=136}\end{array}\right.$，即：（x，y）=（34，136）；
⑤$\left\{\begin{array}{l}{x-3=65}\\{y-3-2x=31}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=68}\\{y=170}\end{array}\right.$，即：（x，y）=（68，170）；
⑥$\left\{\begin{array}{l}{x-3=155}\\{y-3-2x=13}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=158}\\{y=332}\end{array}\right.$，即：（x，y）=（158，332）；
⑦$\left\{\begin{array}{l}{x-3=403}\\{y-3-2x=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=406}\\{y=820}\end{array}\right.$，即：（x，y）=（406，820）；
⑧$\left\{\begin{array}{l}{x-3=2015}\\{y-3-2x=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2018}\\{y=4040}\end{array}\right.$，即：（x，y）=（2018，4040）；
故答案为：（4，2026）；（8，442）；（16，19）；（34，136）；（68，170）；（158，332）；（406，820）；（2018，4040）．

点评 此题是非一次不定方程（组），主要考查了一元二次方程的整数根与有理数根，以及不等式的化简，因式分解，分解质因数解本题的关键是把原方程化成（x-3）（y-3-2x）=2015．