Question

3．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M，N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2$\sqrt{5}$，sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求△ACP的周长．

Answer 1

分析 （1）欲证明直线CP是⊙O的切线，只需证得CP⊥AC；
（2）利用正弦三角函数的定义求得⊙O的直径AC=5，则⊙O的半径为$\frac{5}{2}$．如图，过点B作BD⊥AC于点D，构建相似三角形：△CAN∽△CBD，所以根据相似三角形的对应边成比例求得线段BD=4；然后在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．

解答 （1）证明：连接AN，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC是⊙O的直径，
∴AN⊥BC，
∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠CAN=∠BCP．
∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BCP+∠ACN=90°，
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半径
∴CP是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{CN}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=5，
∴⊙O的半径为$\frac{5}{2}$
如图，过点B作BD⊥AC于点D．
由（1）得BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{5}$，
在Rt△CAN中，AN=$\sqrt{A{C}^{2}-C{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在△CAN和△CBD中，
∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，
∴△CAN∽△CBD，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{BD}{AN}$，
∴BD=4．
在Rt△BCD中，CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=2，
∴AD=AC-CD=5-2=3，
∵BD∥CP，
∴$\frac{BD}{CP}$=$\frac{AD}{AC}$，$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AB}{BP}$
∴CP=$\frac{20}{3}$，BP=$\frac{10}{3}$
∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．

点评 本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．