Question

17．已知，正方形ABCD，点P在对角线BD上，连接AP、CP（如图①）
（1）求证：AP=CP．
（2）将一直角三角板的直角顶点置于点P处并绕点P旋转，设两直角边分别交DC、BC于E、F，
a．若旋转到图②位置，使PE与PA在一直线上，求证：PF=PA．
b．若旋转到图③位置且PD：PB=2：3，求PE：PF的值．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形的性质得出结论判断出△ABP≌△CBP，即可；
（2）a、连接PC，利用三角形的外角和直角得出∠PFC=135°-∠APB，∠PCF=135°-∠APB，从而得出∠PFC=∠PCF，即可得出PF=PC，借助（1）结论即可；
b、先构造出直角三角形，得出PG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BP，PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DP，再判断出△PGF∽PHE，得出$\frac{PE}{PF}=\frac{PH}{PG}$代入即可．

解答 解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABP和△CBP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠CBD}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴AP=CP，
（2）a、如图②，连接PC，
∵∠CBD=45°，
∴∠PFC=∠CBD+∠BPF=45°+∠BPF，
∵∠EPF=∠APF=90°，
∴∠BPF+∠APB=90°，
∴∠BPF=90°-∠APB，
∴∠PFC=135°-∠APB
∵∠APB=∠DAP+∠ADB=45°+∠DAP，
同（1）的方法得出△PAD≌△PCD，
∴∠DAP=∠DCP，
∴∠APB=45°+∠DCP，
∵∠PCF+∠DCP=90°，
∴∠PCF=90°-∠DCP=90°-（∠APB-45°）=135°-∠APB，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PF=PC，
由（1）知，PA=PC，
∴PF=PA．
b、如图③，
过点P作PG⊥BC，
∵∠CBD=45°，
∴PG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BP，
过点P作PH⊥CD，
同理：PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$DP，
∵∠C=∠PFC=∠PHC=90°，
∴∠HPG=90°，
∵∠EPF=90°，
∴∠FPG=∠EPH，
∵∠PFC=∠PHC=90°，
∴△PGF∽PHE，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{PH}{PG}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}DP}{\frac{\sqrt{2}}{2}BP}$=$\frac{DP}{BP}$，
∵PD：PB=2：3
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{2}{3}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，四边形的内角和（也可以先判断矩形得出∠HPG=90°），直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是得出PF=PC，难点是构造直角三角形．