Question

7．如图①，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E．
（1）四边形OCED是矩形吗？证明你的结论．
（2）如图②若AC=CD，将四边形OCED绕点O逆时针旋转，使点C落在CD边的C′处，求∠OC′C的度数．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）先由菱形的性质得出CD=AD，又AC=CD，那么△ACD是等边三角形，得出∠ACD=60°，再由旋转的性质得到OC=OC′，那么△OCC′是等边三角形，从而得出∠OC′C=60°．

解答 解：（1）四边形OCED是矩形，理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；

（2）在菱形ABCD中，CD=AD．
又∵AC=CD，
∴AC=CD=AD．
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD=60°．
∵OC=OC′，
∴△OCC′是等边三角形．
∴∠OC′C=60°．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的判定，旋转的性质，是基础题，熟记性质与矩形的判定方法是解题的关键．