如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α．过点B作一直线l，在l上取点E，使AE=AC，连接CE．∠CAE的平分线交BE于点N，连接NC．分析 （1）在BN上截取BF=CN，连接AF，延长AN交CE于G，根据等腰三角形的性质得到AG垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质得到CN=NE，推出∠NCE=∠NEC，由已知条件得到∠ACE=∠AEC，等量代换得到∠ACN=∠AEN，证得∠ABF=∠ACN，推出△ABF≌△ACN，根据全等三角形的性质得到BF=CN，AF=AN，∠BAF=∠CAN，于是得到∠FAN=∠BAC，根据三角形的内角和得到∠FAN=∠BAC=90°，于是得到结论；
（2）如图2，在BN上截取BF=CN，连接AF，延长AN交CE于G，过A作AH⊥BE于H，由（1）证得∠FAN=∠BAC，根据三角形的内角和得到∠FAN=∠BAC=180°-2×30°=120°，于是得到∠AFH=∠ANH=30°，根据三角函数得到HN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AN，求得FN=$\sqrt{3}$AN，于是得到结论；
（3）由（1）证得∠FAN=∠BAC，由三角形的内角和得到∠FAN=∠BAC=180°-2α，于是得到∠AFH=∠ANH=α，根据三角函数的定义得到HN=ANcosα，于是得到FN=2ANcosα，即可得到结论．
解答 解：（1）$\sqrt{2}$AN=BN-CN，
在BN上截取BF=CN，连接AF，延长AN交CE于G，
∵AE=AC，AN平分∠CAE，
∴AG垂直平分CE，
∴CN=NE，
∴∠NCE=∠NEC，
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠ACN=∠AEN，
∵AB=AC=AE，
∴∠ABF=∠AEB，
∴∠ABF=∠ACN，
在△ABF与△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACN}\\{BF=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACN，
∴BF=CN，AF=AN，∠BAF=∠CAN，
∴∠FAN=∠BAC，
∵∠ABC=45°，
∴∠FAN=∠BAC=90°，
∴FN=$\sqrt{2}$AN，
∵BN-BF=BN-CN=$\sqrt{2}$AN；
即$\sqrt{2}$AN=BN-CN；
故答案为：$\sqrt{2}$AN=BN-CN；
（2）当α=30°时，
如图2，
在BN上截取BF=CN，连接AF，延长AN交CE于G，过A作AH⊥BE于H，
由（1）证得∠FAN=∠BAC，
∵α=30°，
∴∠FAN=∠BAC=180°-2×30°=120°，
∴∠AFH=∠ANH=30°，
∴HN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AN，
∴FN=$\sqrt{3}$AN，
∴$\sqrt{3}$AN=BN-CN；
故答案为：$\sqrt{3}$AN=BN-CN；
（3）由（1）证得∠FAN=∠BAC，
∴∠FAN=∠BAC=180°-2α=，
∴∠AFH=∠ANH=α，
∴HN=ANcosα，
∴FN=2ANcosα，
∴2ANcosα=BN-CN，
即AN=$\frac{BN-CN}{2cosα}$．
故答案为：AN=$\frac{BN-CN}{2cosα}$．
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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操作题：如图，在3×3网格中，已知线段AB、CD，以格点为端点画一条线段，使它与AB、CD组成轴对称图形．（画出所有可能）