Question

12．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ABP=∠ACP．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F．
（1）说明BP=CP；
（2）说明DE=DF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，由角的和差得到∠PBC=∠PCB，即可得到结论；
（2）由PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，得到∠PEB=∠PFC=90°，证得△BEP≌△CFP，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABP=∠ACP，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC；

（2）∵PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，
∴∠PEB=∠PFC=90°，
在△BEP与△CFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠PFC}\\{∠PBE=∠PCF}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△CFP，
∴PE=PF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．