Question

20．四边形ABDC中，AB∥CD，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD交AC于E．

（1）求证：AE=CD；
（2）点G是AC上一点，若CG=AE，BE、FG的延长线交于点H，求证：EH=GH；
（3）点M在BC上，且BM=CF，MN∥AD，若AE=2，求BN的值．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABDC中，AB∥CD，∠BAC=90°，AB=AC，BE⊥AD，可以得到∠BAE=∠C，∠EBA=∠DAC，从而可以得到△EBA≌△DAC，进而得到AE=CD；
（2）要证EH=GH，只要证∠HGE=∠HEG即可，要证∠HGE=∠HEG，只要证∠AEB=∠CGF，根据题意和第一问中结论可以求出所求的结论成立，从而解答问题；
（3）由AE=2，可得CD=2，然后根据题意可以证CD=BN，从而可以求得BN的长．

解答 （1）证明：如下图1所示，

∵AB∥CD，∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠C=180°，∠EBA+∠AEB=90°．
∴∠C=90．
∵BE⊥AD，
∴∠DAC+∠AEB=90°．
∴∠EBA=∠DAC．
在△EBA和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBA=∠DAC}\\{AB=AC}\\{∠BAC=∠C}\end{array}\right.$，
∴△EBA≌△DAC（ASA）．
∴AE=CD．

（2）证明：如下图2所示，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°．
又∵∠ACD=90°，
∴∠GCF=∠DCF=45°．
∵AE=CD，CG=AE，
∴CG=CD．
在△CFG和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CD}\\{∠GCF=∠DCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$
∴△CFG≌△CDF（SAS）．
∴∠CGF=∠CDF．
∵∠CGF=∠HGE，∠HEG=∠AEB，∠AEB+∠CAD=90°，∠CDF+∠CAD=90°，
∴∠HGE=∠HEG．
∴EH=GH．

（3）解：如下图3所示，

∵MN∥AD，∠BFA=∠CFD，
∴∠BMN=∠BFA．
∴∠BMN=∠CFD．
∵AB∥CD，
∴∠NBM=∠FCD．
在△BMN和△CFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMN=∠CFD}\\{BM=CF}\\{∠NBM=∠FCD}\end{array}\right.$
∴△BMN≌△CFD（ASA）．
∴BN=CD．
又∵AE=CD=2，
∴BN=2．

点评 本题考查全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，解题的关键是能根据题目中的条件推导出结论成立所需要的条件．