Question

已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出∠B=∠C，再由外角关系得出∠ADB=∠DEC，证出△ABD∽△DCE；
（2）首先由勾股定理求出BC的长，再根据△ABD∽△DCE得出CE的长，即可求出Y关于x的函数关系式．

解答：证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°
又∵∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+45°，∠DEC=∠DAC+∠ADE=∠DAC+45°，
∴∠ADB=∠DEC，∴△ABD∽△DCE；
（2）（7分）∵∠BAC=90°，AB=AC=1
∴BC=

12+12

=

2

，
∴DC=BC-BD=

2

-x，
∵△ABD∽△DCE，
∴

CE

BD

=

DC

AB

，即

CE

x

=

2 -x

1

，
∴CE=

2

x-x2，
∴AE=AC-CE=1-（

2

x-x2）=x²-

2

x+1，
即y=x²-

2

x+1（其中0＜x＜

2

）．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，证明三角形相似是解决问题的关键．