Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC

(1) 求证：PA是⊙O的切线；

(2) 连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证： = = .

Answer 1

证明：(1) 连接CM

∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC

∴∠PAC=∠M

∵AM为直径

∴∠M+∠MAC=90°

∴∠PAC+∠MAC=90°

即：∠MAP=90°

∴MA⊥AP

∴PA是⊙O的切线

 (2) 连接AE

∵M为中点，AM为⊙O的直径

∴AM⊥BC

∵AM⊥AP

∴AP∥BC

∴△ADP∽△CDB

∴ =  

∵AP//BC

∴∠P=∠CBD

∵∠CBD=∠CAE

∴∠P=∠CAE

∵∠P=∠DCF

∴∠DCF=∠CAE

∵∠ADE=∠CDF

∴△ADE∽△CDF

∴ =  

∴ =  =