Question

6．点I为△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于D，以D为圆心，DI为半径画弧，是否经过点B与点C？说明理由．

Answer 1

分析 连接BI，根据三角形的内切圆的意义和圆周角定理得到BD=DC，根据三角形外角性质求出∠IBD=∠BID，根据等腰三角形的判定求出BD=ID即可．

解答 证明：连接BI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠DAC，∠ABI=∠CBI，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴BD=DC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠DBC，
∵∠CAD=∠BAD=∠DBC，
∴∠DBI=∠BID，
∴BD=DI，
∴BD=CD=ID，
∴以D为圆心，DI为半径画弧，必经过点B与点C．

点评 本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，三角形的外角性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间关系等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．