Question

15．已知：如图，Rt△ABC外切于圆O，切点分别为E、F、H，∠ABC=90°，直线FE、CB交于D点，连接AO、HE．现给出以下四个结论：①∠FEH=90°-$\frac{1}{2}$∠C；②DE=AE；③AB²=AO•DF；④AE•CH=S_△ABC，其中正确结论的序号为①③④．

Answer 1

分析 连接OE，OH，OF，OB，
①由切线的性质和四边形的内角和即可得∠FOH=180°-∠C=90°+∠BAC，再根据圆周角定理即可得到结论正确；
②根据已知条件知道四边形OEBH是正方形，然后证明△BDE≌△FAO，然后利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；
③根据已知条件可以证明△DFH∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例和已知条件即可证明结论正确；
④根据直角三角形的面积公式直接解答即可．

解答 解：①连接OE，OH，OF，则OE⊥AB，OH⊥BC，
得出∠FOH=180°-∠C，
根据圆周角定理得∠FEH=$\frac{1}{2}$∠FOH=90$°-\frac{1}{2}$∠C；
故①正确；

②由①得四边形OEBH是正方形，
则圆的半径=BE，
∴OF=BE，
又∵∠DBE=∠AFO，∠BED=∠AEF=∠AFE，
在△BDE与△FAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE∠AFO}\\{OF=BE}\\{∠BED=∠AFE}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FAO（SAS），
∴BD=AF，
∵BD＜DE，
∴DE≠AF，
故②错误；

③∵Rt△ABC外切于⊙O，切点分别为E、F、H，
∴BE=BH，AF=AE，
根据②得BD=AF，
∴BD=AE（等量代换），
∴AB=DH；
连接OB、FH．
∵∠D=∠BAO，∠EFH=∠OBA=45°，
∴△DFH∽△ABO，
则DH•AB=AO•DF，又AB=DH，
所以AB²=AO•DF，
故③正确；

④设△ABC的三边分别为a，b，c，则AE=$\frac{b+c-a}{2}$，CH=$\frac{a+b-c}{2}$，AE•CH=$\frac{（b+c-a）}{2}$$•\frac{（a+b-c）}{2}$=$\frac{ab}{2}$=S_△ABC．
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=AE•CH；
故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心．此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理、圆周角定理和相似三角形的性质和判定，综合性比较强．