Question

5．已知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出x²-4x-12=0的两根，进而求出点A和点B的坐标，利用待定系数法列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，即可求出二次函数的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，连接AQ，用m表示出△CPQ的面积，利用二次函数的性质，求出当△CPQ的面积最大时，点P的坐标．

解答 解：（1）由x²-4x-12=0，
解得x=-2或x=6，
点A、点B的横坐标是方程x²-4x-12=0的两个根，
故A（-2，0）、B（6，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+6=0}\\{36a+6b+6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，顶点坐标（2，8）；

（2）设点P的横坐标为m，则0＜m＜6，
连接AQ，
直线BC的解析式为y=-x+6，直线AC的解析式为y=3x+6，
设Q点坐标为（a，6-a），
由PQ∥AC，
可知$\frac{6-a}{a-m}=3$，
解得a=$\frac{6+3m}{4}$，
6-a=$\frac{3}{4}$（6-m），
S_△CPQ=S_△APQ=$\frac{1}{2}$（m+2）•$\frac{3}{4}$（6-m），
=-$\frac{3}{8}$（ m²-4m-12）=-$\frac{3}{8}$（m-2）²+6，
当m=2时，S_最大=6，
所以，当△CPQ的面积最大时，点P的坐标是（2，0）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象以及三角形面积的计算，解答本题的关键是正确求出二次函数的解析式，此题难度不大．