Question

3．如图，在边长为54$\sqrt{3}$的正三角形ABC中，圆O₁为△ABC的内切圆，圆O₂与圆O₁外切，且与AB、BC相切；圆O₃与圆O₂外切，且与AB、BC相切…如此继续下去，请计算圆O₅的周长为$\frac{2}{3}$π．（结果保留π）

Answer 1

分析 本题可将三角形ABO分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出⊙O₂，⊙O₃…的半径大小，找出规律即可．

解答 解：如图过点O₂作O₂D⊥O₁E于D，
∵△ABC是等边三角形，O₁为△ABC的内切圆，
∴O₁E⊥BC，∠O₁BE=∠O₁O₂D=30°，BE=$\frac{1}{2}$BC=27$\sqrt{3}$，
∴O₁E=27，
设⊙O₁，⊙O₂的半径为R，r，
${{∴O}_{1}O}_{2}={\frac{1}{2}O}_{1}$D，
∴r=$\frac{1}{3}$R，
同理⊙O₃的半径=$\frac{1}{3}$r=$\frac{1}{9}$R=3，
⊙O₄=$\frac{1}{3}$×3=1，⊙O₅=$\frac{1}{3}$×1=$\frac{1}{3}$，
∴⊙O₅的周长=2×$\frac{1}{3}$π=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查的是三角形的性质，解此类题目时要根据题意列出不等式，适当地对图形进行分解，然后再解题．