Question

8．如果直角三角形的两条直角边长分别为5cm，12cm，则其内切圆半径为2cm．

Answer 1

分析 根据题意画出相应的图形，如图所示，由两直角边的长，利用勾股定理求出斜边AC的长，由圆O为三角形的内切圆，得到三角形三边与圆O相切，切点分别为D，E，F，连接圆心与各个切点，根据切线的性质得到OD与AB垂直，OF与BC垂直，又∠B为直角，可得四边形ODBF为矩形，又两半径OD=OF，可得此矩形为正方形，根据正方形的性质得到四条边相等，设出圆的半径为r，根据AD与AE为圆的两条切线，根据切线长定理得到AD=AE=12-r，同理可得出CE=CF=5-r，进而得到AC=AE+EC=AD+CF，列出关于r的方程，求出方程的解可得出r的值．

解答 解：∵直角三角形的两直角边长BC=5cm，AC=12cm，
∴根据勾股定理得到直角三角形的斜边AC=$\sqrt{{5}^{2}{+12}^{2}}$=13cm，
又圆O为三角形的内切圆，D，E，F分别为切点，连接OD，OE，OF，
∴OD⊥AB，OF⊥BC，
∴∠ODB=∠B=∠OFB=90°，
∴四边形OFBD为矩形，又OD=OF，
∴四边形OFBD为正方形，
∴OD=DB=BF=OF，
又AD，AE为圆O的两条切线，
∴AD=AE，
同理CE=CF，BD=BF，
设圆O的半径为rcm，则有BD=BF=rcm，
∴CF=CE=（5-r）cm，AD=AE=（12-r）cm，
又AC=AE+EC=AD+CF=12-r+5-r=17-2r=13，
解得：r=2，
则该直角三角形的内切圆的半径为2cm．
故答案为：2．

点评 此题考查了三角形的内切圆与内心，涉及的知识有：勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理，利用了方程及转化的思想，本题的关键是根据题意画出相应的图形，添加合适的辅助线，设出未知数，建立方程来解决问题．