Question

13．如图1，D、E、F分别是△ABC三边AB、BC和AC上的点，若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，我们称△DEF为△ABC的反射三角形．

（1）若△ABC是正三角形（如图2），猜想其反射三角形的形状，并画出图形加以说明；
（2）如图3，△DEF是△ABC的反射三角形，AB=AC，∠A=50°，求△DEF各个角的度数；
（3）利用图1探究：
①△ABC的三个内角与其反射三角形DEF的对应角（如∠DEF与∠A）之间的数量关系；
②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正三角形的反射三角形的关系，可得反射三角形的内角的度数，可得答案；
（2）根据三角形内角和定理，可得∠B=∠C，根据三角形内角和定理，可得关于x的方程，根据平角的定义，可得答案；
（3）①根据三角形内角和定理，可得∠3、∠5的表示，根据三角形内角和定理，可得∠1与∠C的关系，根据根据平角的定义，可得答案；
②根据反射三角形对角的关系，可得答案．

解答 解：（1）如图2，

△ABC是正三角形，其反射△DEF是正三角形，理由如下：
∠A=∠BED=∠FED=60°，
同理∠B=∠EFC=∠AFD=∠DFE=60°，
∠C=∠BDE=∠ADF=∠EDF=60°，
∠FED=DFE=∠EDF=60°，
∴△DEF是正三角形
（2）如图3：

在△ABC中，由三角形内角和定理，得
∠B=∠C=（180°-∠A）÷2=65°，
设∠ADF=∠BDE=x°，
在△ADF和△BDE中，由三角形的内角和定理，得
∠CFE=∠AFD=180°-∠A-x°，
∠FEC=∠BED=180°-∠B-x°，
在△CEF中，由三角形的内角和定理，得∠CFE+∠FEC+∠C=180°，
即180°-∠A-x°+180°-∠B-x°+∠C=180°，
解得x=65，∠CFE=∠AFD=180°-50°-65°=65°，∠FEC=∠BED=180°-65°-65°=50°．
由平角的定义，得
∠EDF=180°-∠ADF-∠BDE=180°-65°-65°=50°，
∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=180°-50°-50°=80°，
∠DFE=180°-∠AFD-∠CFE=180°-65°-65°=50°；
（3）如图1，
，
①∠1=∠2=x°，
在△ADF和△BDE中，由三角形的内角和定理，得
∠3=∠4=180°-∠A-x°，
∠5=∠6=180°-∠B-x°，
由三角形的内角和定理，得∠4+∠5+∠C=180°，
即180°-∠A-x°+180°-∠B-x°+∠C=180°，
解得x=∠C，
∠EDF+2∠C=180°，∠DEF+2∠A=180°，∠DFE+2∠C=180°；
②在直角三角形中，不存在反射三角形，理由如下：
当∠C=90°时，∠EDF+2∠C=180°，得∠EDF=0°，
∴直角三角形中，不存在反射三角形；
在钝角三角形中，不存在反射三角形，理由如下：
当∠C＞90°时，∠EDF+2∠C=180°，得∠EDF＜0°，
∴在钝角三角形中，不存在反射三角形．

点评 本题考查了三角形边角关系，利用了三角形内角和定理，平角的定义，利用三角形内角和得出∠4、∠6、∠1的关系是解题关键．