Question

5．【概念学习】
在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角．如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，则∠2=225°
【理解应用】
习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD
互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图②，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP=180°．
①写出图中一对互组的角优角∠PCQ与钝角∠PCQ（两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．

Answer 1

分析 （1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；
（2）根据四边形内角和定理可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°?，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
（3）①根据互为组角的定义及周角的定义，结合图形可知优角∠PCQ与钝角∠PCQ是一对互组的角；
②先由∠APD、∠AQB的平分线交于点M，得出∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．由（2）中的结论可知在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，于是根据等式的性质得出∠QCP+∠A=2∠PMQ，而∠A+∠QCP=180°，那么∠PMQ=90°，即PM⊥QM．

解答 解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，
∴∠2=360°-∠1=225°；
                                   
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下：
如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°?，
∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；

（3）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；
②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，
∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM．
令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．
∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ，
在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，
∴∠QCP+∠A=2∠PMQ，
∵∠A+∠QCP=180°，
∴∠PMQ=90°．
∴PM⊥QM．    
故答案为225；优角∠PCQ与钝角∠PCQ．

点评 本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和定理，角平分线定义，垂直的定义，等式的性质，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解互为组角的定义以及得出（2）中的关系是解题的关键．