Question

16．【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S_△OBC+S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$AC•r+$\frac{1}{2}$AB•r=$\frac{1}{2}$ar+$\frac{1}{2}$br+$\frac{1}{2}$cr=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r．
∴r=$\frac{2S}{a+b+c}$．
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．

Answer 1

分析 （1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
（2）如图3，连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，OE=EC=CF=FO=r，解直角三角形求得结果．

解答 解：（1）如图2，连接OA、OB、OC、OD．

∵S=S_△AOB+S_△BOC+S_△COD+S_△AOD=$\frac{1}{2}$ar$+\frac{1}{2}$br$+\frac{1}{2}$cr$+\frac{1}{2}$dr=$\frac{1}{2}$（+b+c+d）r，
∴r=$\frac{2S}{a+b+c+d}$；

（2）如图3连接OE、OF，则四边形OECF是正方形，

OE=EC=CF=FO=r，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
（3+r）²+（2+r）²=5²，
r²+5r-6=0，
解得：r=1．

点评 本题考查了学生的学习、理解、创新新知识的能力，同时考查了解直角三角形及等腰梯形等相关知识．这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，是一道值得练习的基础题．