Question

1．如图5，I是△ABC的内心，且∠A、∠B、∠C的平分线延长线分别交外接圆于P，Q，R点．
（1）若$\widehat{BPC}$所对的圆心角为140°，则∠BAP=35°；
（2）线段PI与弦BP大小关系如何？请给出证明；
（3）证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求解．
（2）根据角平分线的性质，同弧所对的圆周角相等，得到角与角的数量关系，证得角相等，由等角对等边得到结论．
（3）根据同圆或等圆中等弧所对的弦相等，大弧对的弦也大，推出结论．

解答 解：（1）∵若$\widehat{BPC}$所对的圆心角为140°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°；

（2）相等
∵AP平分∠BAC，BQ平分∠ABC，
∴∠BIP=∠BAP+∠ABI=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∠IBP=∠IBC+∠PBC，
∵∠PBC=∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠IBP=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∴∠BIP=∠IBP，
∴BP=PI；

（3）∵$\widehat{ABP}$$＞\widehat{AB}$，
∴AP＞AB，①
∵$\widehat{CAR}$$＞\widehat{AC}$，
∴CR＞AC，②
∵$\widehat{BCQ}$$＞\widehat{BC}$，
∴BQ＞BC，③
∴①+②+③得：
∴AP+BQ+CR＞BC+CA+AB．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等．正确的识别同弧所对的圆周角是解题的关键．