Question

11．如图，在正方形ABCD中，点E时CD边上一点，AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接DF分别交于AE、AB于点C、P连接PE．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AD=2，求当DE为何值时，四边形APED是矩形．

Answer 1

分析 （1）若要证明AE=AF，则可证明以上两条线段所在的三角形△ADE≌△ABF全等即可；
（2）证得△ADP∽△PBF，设DE=x，利用相似的性质得出方程求得方程的解即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠ABC=∠DAB=90°，AD=AB，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF，
在△ADE和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BAF}\\{AD=AB}\\{∠ADE=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF=AE；
（2）∵△ADE≌△ABF，
∴DE=BF，
∵四边形APED是矩形，
∴DE=AP，
∴DE=AP=BF，
设DE=x，则AP=BF=x，
∵AD∥BF，
∴△ADP∽△PBF，
∴$\frac{AD}{FB}$=$\frac{AP}{PB}$，
即$\frac{2}{x}$=$\frac{x}{2-x}$，
解得：x=$\sqrt{5}$-1或x=-$\sqrt{5}$-1（不合题意，舍去）
∴当DE=$\sqrt{5}$-1时，四边形APED是矩形．

点评 此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，利用相似建立方程是解决问题的关键．