Question

20．已知等腰△ABC的两条边长分别为4cm和6cm，则等腰△ABC的内切圆半径为$\sqrt{2}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$cm．

Answer 1

分析 如图，设三角形的内切圆为⊙O，切点分别为D、E、F，连接AO、BO，过AD⊥BC与D，由于△ABC是等腰三角形，由此可以确定A、O、D三点在同一直线上，可以利用勾股定理求出AD的长度，首先根据切线长定理求出AE，设OE=r，根据已知条件可以得到△ADB∽△AEO，最后利用相似三角形的性质即可求解．

解答 解：如图，设三角形的内切圆为⊙O，切点分别为D、E、F，
过AD⊥BC与D，
设OE=OD=OF=rcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴可以确定A、O、D三点在同一直线上，D是BC的中点，
当BC=4时，AB=AC=6，
∴BD=2cm，而AB=6cm，
∴AD=$\sqrt{{AB}^{2}{-BD}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
根据切线长定理得AE=AF，BD=BE，CD=CF，
∴AE=AF=（AB+AC-BC）÷2=4，
∵AB是内切圆的切线，
∴∠AEO=90°=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEO，
∴OE：BD=AE：AD
设OE=r，
∴r：2=4：4$\sqrt{2}$，
∴r=$\sqrt{2}$cm．
当BC=6，则AB=AC=4，
∴BD=3，
∴AD=$\sqrt{{AB}^{2}{-BD}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
根据切线长定理得AE=AF，BD=BE，CD=CF，
∴AE=AF=（AB+AC-BC）÷2=1，
∵AB是内切圆的切线，
∴∠AEO=90°=∠ADB，∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEO，
∴OE：BD=AE：AD
设OE=r，
∴r：3=1：$\sqrt{7}$，
∴r=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$cm．
故答案为：$\sqrt{2}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心的性质，也利用了等腰三角形的性质和勾股定理，有一定的综合性，能力要求比较高．