Question

9．如图所示，由位似的正△A₁B₁C₁，正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃，…正△A_nB_nC_n组成的相似图形，其中第一个△A₁B₁C₁的边长为1，点O是B₁C₁中点，A₂是OA₁的中点，A₃是OA₂的中点…A_n是OA_n-1的中点，顶点B₂，B₃，…，B_n．C₂，C₃，…，C_n都在B₁C₁边上．
（1）试写出△A₁₀B₁₀C₁₀和△A₇B₇C₇的相似比和位似中心；
（2）求出第n个三角形△A_nB_nC_n（n≥2）的周长．

Answer 1

分析 （1）由于点O是B₁C₁中点，A₂是OA₁的中点，则可得到正△A₂B₂C₂的边长为$\frac{1}{2}$，正△A₃B₃C₃的边长为（$\frac{1}{2}$）²，利用此规律可得第n个三角形△A_nB_nC_n（n≥2）的边长为（$\frac{1}{2}$）^n-1，所以正△A₁₀B₁₀C₁₀的边长为（$\frac{1}{2}$）⁹，正△A₇B₇C₇的边长为（$\frac{1}{2}$）⁶，然后根据对应边的比等于相似比即可得到△A₁₀B₁₀C₁₀和△A₇B₇C₇的相似比，再根据位似的定义确定位似中心；
（2）利用第n个三角形△A_nB_nC_n（n≥2）的边长为（$\frac{1}{2}$）^n-1易得第n个三角形△A_nB_nC_n（n≥2）的周长．

解答 解：（1）∵△A₁B₁C₁的边长为1，点O是B₁C₁中点，A₂是OA₁的中点，
∴正△A₂B₂C₂的边长为$\frac{1}{2}$，
正△A₃B₃C₃的边长为（$\frac{1}{2}$）²，
正△A₁₀B₁₀C₁₀和的边长为（$\frac{1}{2}$）⁹，正△A₇B₇C₇的边长为（$\frac{1}{2}$）⁶，
∴正△A₁₀B₁₀C₁₀和正△A₇B₇C₇的相似比=$\frac{（\frac{1}{2}）^{9}}{（\frac{1}{2}）^{6}}$=$\frac{1}{8}$；它们的位似中心为点O；
（2）∵第n个三角形△A_nB_nC_n（n≥2）的边长为（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴第n个三角形△A_nB_nC_n（n≥2）的周长为$\frac{3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．