Question

12．在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是10cm和40cm．

Answer 1

分析 点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=20，再利用勾股定理计算出OE=15，然后分别计算出DE和CE即可．

解答 解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，
∵点C和D为弦AB所对弧的中点，
∴CD为直径，CD⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=20，
在Rt△OAE中，∵OA=25，AE=20，
∴OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=15，
∴DE=OD+OE=40，CE=OC-OE=10，
即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．
故答案为10cm和40cm．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．