Question

2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、AC为边向△ABC外作正方形ACDE和正方形ABGF，连接EF、EC，延长BA交EF于H．
（1）若tan∠ACB=$\frac{2}{3}$，S_△ABC=12，求EC的长；
（2）求证：BC=2AH．

Answer 1

分析 （1）由tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$，设AB=2x，BC=3x，根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC，得出x=2，AB=4，BC=6，由勾股定理求出AC，再根据正方形的性质得出EC=$\sqrt{2}$AC，即可得出结果；
（2）过E作EM∥AF，交AH的延长线于M，连接FM，先证明△ABC≌△AEM，得出AB=EM，MA=BC，再证出FA=EM，得出四边形AEMF是平行四边形，得出MH=AH=$\frac{1}{2}$MA，即可得出结论．

解答 解：（1）∵tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴设AB=2x，BC=3x，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×2x•3x=12，
解得：x=$\sqrt{4}$=2，
∴AB=4，BC=6，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠CAE=90°，AE=AC=2$\sqrt{13}$，
∴EC=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{26}$；
（2）过E作EM∥AF，交AH的延长线于M，连接FM，如图所示：
则∠AME=∠FAM，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠BAF=90°，AB=AF，
∴∠FAM=∠AME=90°，
∵∠MAE+∠EAC+∠CAB=180°，∠EAC=90°，
∴∠MAE+∠CAB=90°，
在△ABC中，∠BCA+∠CAB=90°，
∴∠MAE=∠BCA，
在△ABC和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠AME}&{\;}\\{∠MAE=∠BCA}&{\;}\\{AC=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AEM（AAS），
∴AB=EM，MA=BC，
∵AB=AF，
∴FA=EM，
∵EM∥AF，
∴四边形AEMF是平行四边形，
∴MH=AH=$\frac{1}{2}$MA，
∴BC=2AH．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和平行四边形才能得出结论．