Question

8．在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，⊙O经过B，C两点，且AO=8，则⊙O的半径长为2$\sqrt{17}$或2$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当点O与点A在BC异侧，如图1，作AD⊥BC于点，根据等腰三角形的性质得CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=8，再利用勾股定理可计算出AD=6，由于AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论得到点D在AO上，然后连结OC，在Rt△OCD中利用勾股定理可计算出OC=2$\sqrt{17}$；当点O与点A在BC同侧，如图2，作AD⊥BC于点，与前面一样可得AD=6，点D在AO上，连结OC，在Rt△OCD中可利用勾股定理计算出OC=2$\sqrt{65}$．

解答 解：当点O与点A在BC异侧，如图1，
作AD⊥BC于点，∵AB=AC，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=8，
在Rt△ACD中，∵AC=10，CD=8，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∵AD垂直平分BC，
∴点D在AO上，
连结OC，在Rt△OCD中，∵OD=OA-AD=8-6=2，CD=8，
∴OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$；
当点O与点A在BC同侧，如图2，
作AD⊥BC于点，AD=6，点D在AO上，
连结OC，在Rt△OCD中，∵OD=OA+AD=8+6=14，CD=8，
∴OC=$\sqrt{O{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{65}$，
综上所述，⊙O的半径长为2$\sqrt{17}$或2$\sqrt{65}$．
故答案为2$\sqrt{17}$或2$\sqrt{65}$．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰三角形的性质．注意分类讨论思想的运用．