如图1.平面直角坐标系中.O为坐标原点.点B在x轴正半轴上.四边形OACB是平行四边形.OA=4.∠AOB=60°.反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象经过点A.与BC交于点F．(1)求反比例函数解析式,(2)若点F为BC边的中点.求OB的长和点C的坐标,中的条件下.过点F作EF∥OB.交OA于点E.点P为直线EF上的一个动点.连接PA.PO．是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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16．如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，四边形OACB是平行四边形，OA=4，∠AOB=60°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1）求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC边的中点，求OB的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图2），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，O，A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由OA=4，∠AOB=60°，AH⊥x轴，可求得AH，OH的长，即可求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数解析式；
（2）由AH⊥x轴，FG⊥轴，四边形OACB是平行四边形，易证得△OAH∽△FBG，又由点F为BC边的中点，根据相似三角形的对应边成比例，求得FG，BG的长，然后由点F在反比例函数图象上，求得点C的坐标，继而求得OG的长，则可求得OB的长，继而求得点C的坐标；
（3）过点F作EF∥OB，可求得点P的纵坐标，即可设点P（x，$\sqrt{3}$），继而可得PA²=（x-2）²+（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）²=x²-4x+7，OP²=x²+（$\sqrt{3}$）²=x²+3，OA²=16，然后分别从当∠APO=90°时，则PA²+OP²=OA²，当∠PAO=90°时，PA²+OA²=OP²，当∠POA=90°时，OP²+OA²=PA²，去分析求解即可求得答案．

解答解：（1）∵OA=4，∠AOB=60°，AH⊥x轴，
∴AH=OA•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，OH=OA•cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴点A（2，2$\sqrt{3}$），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，
∴2$\sqrt{3}$=$\frac{k}{2}$，
解得：k=4$\sqrt{3}$，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$；

（2）∵AH⊥x轴，FG⊥轴，
∴∠AHO=∠FGB=90°，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠OAH=∠FBG，
∴△AOH∽△FBG，
∴$\frac{OA}{BF}=\frac{AH}{FG}=\frac{BG}{OH}$，
∵点F为BC边的中点，
∴BF：OA=1：2，
∴FG=$\frac{1}{2}$AH=$\sqrt{3}$，BG=$\frac{1}{2}$OH=1，
∵点F在反比函数的图象上，
∴点F（4，$\sqrt{3}$），
∴OG=4，
∴OC=OG-BG=3，
∴AC=OB=3，
∴点C的坐标为：（5，2$\sqrt{3}$）；

（3）存在三种情况．
∵EF∥OB，
∴点P的纵坐标为：$\sqrt{3}$，
设点P（x，$\sqrt{3}$），
∴PA²=（x-2）²+（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）²=x²-4x+7，OP²=x²+（$\sqrt{3}$）²=x²+3，OA²=16，
当∠APO=90°时，则PA²+OP²=OA²，
即x²-4x+7+x²+3=16，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∴P₁（3，$\sqrt{3}$），P₂（-1，$\sqrt{3}$）；
当∠PAO=90°时，PA²+OA²=OP²，
即x²-4x+7+16=x²+3，
解得：x=5，
∴P₃（5，$\sqrt{3}$）；
当∠POA=90°时，OP²+OA²=PA²，
即x²-4x+7=16+x²+3，
解得：x=-3，
∴P₄（-3，$\sqrt{3}$）．
综上可得：点P的坐标为：P₁（3，$\sqrt{3}$），P₂（-1，$\sqrt{3}$），P₃（5，$\sqrt{3}$），P₄（-3，$\sqrt{3}$）．

点评此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．解此题的关键是利用分类讨论思想与方程思想求解．

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