Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=m°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD．
（1）求∠CAD的度数（用含m的式子表示）；
（2）若点E是AC的中线，当m的值为多少时，ED是⊙O的切线？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质即可求得；
（2）根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=m°根据切线的性质得出∠ADE=∠ABC=m°，根据直角三角形斜边直线的性质得出AE=ED，进而得出∠CAD=∠ADE=m°，从而求得△ADC是等腰直角三角形，即可求得m的值．

解答 解：（1）∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∠ABC=m°，
∴∠ABC=∠C=m°
∴∠CAD=90°-m°；
（2）∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=m°
∵ED是⊙O的切线，
∴∠ADE=∠ABC=m°
∵点E是AC的中线，
∴AE=ED，
∴∠CAD=∠ADE=m°
∴∠CAD=∠C=m°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴m为45，
∴当m的值为45时，ED是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的判定等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．