Question

4．用换元法解方程：
（1）x²-x-$\frac{12}{{x}^{2}-x}$=4
（2）$\frac{3{x}^{2}}{x+1}$-$\frac{x+1}{{x}^{2}}$=2．

Answer 1

分析 （1）方程的两个部分具备倒数关系，若设y=x²-x，则原方程另一个分式为12×$\frac{1}{y}$．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验；（2）方程的两个部分具备倒数关系，若设y=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，则原方程另一个分式为$\frac{1}{y}$．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．

解答 解：（1）y=x²-x，则原方程化为y-12×$\frac{1}{y}$=4，
整理得y²-4y-12=0，
解这个方程，得y₁=6，y₂=-2．
当y=6时，x²-x=6，即x²-x-6=0，
解这个方程，得x₁=-2，x₂=3．
当y=-2时，x²-x=-2，即x²-x+2=0，
∵△=1-8＜0，∴这个方程没有实数根．
经检验，x₁=-2，x₂=3都是原方程的根．
∴原方程的根是x₁=-2，x₂=3；

（2）设y=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，则原方程化为3y-$\frac{1}{y}$=2，
整理得3y²-2y-1=0，
解这个方程，得y₁=1，y₂=-$\frac{1}{3}$．
当y=1时，$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=1，即x²-x-1=0，
解这个方程，得x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
当y=-$\frac{1}{3}$时，$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=-$\frac{1}{3}$，即3x²+x+1=0，
∵△=1-12＜0，∴这个方程没有实数根．
经检验，x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$都是原方程的根．
∴原方程的根是x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了换元法解分式方程，用换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．