Question

1．如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，交BC于点E．
（1）求证：BD=ID；
（2）求证：ID²=DE•DA．

Answer 1

分析 （1）连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形，利用等量代换即可证明；
（2）证△DBE∽△DAB，得DB²=DE•DA，再由（2）得DI²=DE•DA．

解答 （1）证明：连接BI，CI，CD，
∵I为内心，
∴AI为∠BAC角平分线，
BI为∠ABC平分线，
∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠DAC，
∵∠BID=∠ABI+∠BAI，
∠CBD=∠DAC=∠BAI，
∴∠BID=∠CBI+∠CBD=∠DBI，
∴△DBI为等腰三角形，
∴DB=DI；

（2）证明：∵∠DBE=∠CAD，∠BAE=∠CAE，
∴∠BAE=∠EBD，
∴△DBE∽△DAB，
∴$\frac{DB}{DA}$=$\frac{DE}{DB}$，
∴DB²=DE•DA，
又∵DB=DI（已证），
∴DI²=DE•DA．

点评 本题考查了三角形的相似和性质以及三角形的内切圆与内心，证明此题的关键是连接BI，CI，CD，求证△BCD为等腰三角形，再利用BI为∠ABC平分线，求证△DBI为等腰三角形．此题难度较大，属于难题．