Question

已知：如图，抛物线y=ax²-3x+c与x轴交于A、B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，D点的横坐标为3，C点的坐标为（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P点从C点出发沿y轴负方向运动，Q点从B点出发沿x轴正方向运动，P、Q两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，过P点作x轴的平行线交抛物线于E，设运动时间为t（秒），当t为何值时，P、A、Q、E四点构成平行四边形；
（3）将抛物线向上平移2个单位长度，平移后的抛物线的顶点为F，交y轴于N，在平移后的抛物线上是否存在点M，使S_△MNC=2S_△MFD？若存在求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-直接开平方法,解一元二次方程-因式分解法,待定系数法求二次函数解析式,平行四边形的判定

专题：综合题

分析：（1）由条件可建立关于a与c的方程组，解这个方程组就可求出抛物线的解析式．
（2）由于PE∥AQ，只需PE=AQ，四边形APEQ就是平行四边形，此时PE=AQ=2+t，就可得到点E（2+t，4-t），代入抛物线的解析式就可求出t．
（3）设点M的坐标为（m，n），根据条件就可建立关于m的方程，解这个方程就可得到m，代入新抛物线的解析式就可求出点M的坐标．

解答：解：（1）由题可得：

- -3 2a =3 c=4

．
解得：

a= 1 2 c=4

．
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-3x+4．

（2）如图1，
由题可得：PE∥AQ，CP=BQ=t．
解方程

1

2

x²-3x+4=0得：x₁=2，x₂=4．
则点A（2，0），B（4，0）．AB=2．
当PE=AQ时，四边形PAQE是平行四边形，
此时PE=AQ=AB+BQ=2+t．
则点E的坐标为（2+t，4-t）．
∵点E在抛物线y=

1

2

x²-3x+4上，
∴

1

2

（2+t）²-3（2+t）+4=4-t．
解得：t₁=2

2

，t₂=-2

2

（舍去）．
∴当t=2

2

秒时，P、A、Q、E四点构成平行四边形．

（3）存在．
由题可得：平移后的抛物线的解析式为y=

1

2

x²-3x+4+2=

1

2

x²-3x+6，且CN=DF=2．如图2，
设点M的坐标为（m．n）．
∵S_△MNC=2S_△MFD，
S_△MNC=

1

2

×2×

.

m

.

=

.

m

.

，
S_△MFD=

1

2

×2×

.

3-m

.

=

.

3-m

.

，
∴

.

m

.

=2

.

3-m

.

．
∴m²=4（3-m）²．
解得：m₁=2，m₂=6．
当m=2时，n=

1

2

×2²-3×2+6=2，点M（2，2）；
当m=6时，n=

1

2

×6²-3×6+6=6，点M（6，6）．
∴点M的坐标为（2，2）或（6，6）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元二次方程、平行四边形的判定等知识，有一定的综合性．需要注意的是：用坐标表示线段的长度时要加绝对值．