Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE=∠B．设BD的长为x，CE的长为y．
（1）当D为BC的中点时，求CE的长；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△ADE为等腰三角形，求x的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线,勾股定理

专题：

分析：（1）先根据等腰三角形的性质由AB=AC得∠B=∠C，再利用三角形外角性质得∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，加上∠ADE=∠B，则∠BAD=∠CDE，根据相似三角形的判定方法待定△ABD∽△DCE，利用相似比得到y=-

1

6

x²+

4

3

x（0≤x≤8），然后把x=4代入计算得到CE的长为

8

3

；
（2）由（1）得到y关于x的函数关系式为y=-

1

6

x²+

4

3

x（0≤x≤8）；
（3）由于∠AED＞∠C，而∠B=∠ADE=∠C，则∠AED＞∠ADE，所以AE＜AD，然后分类讨论：当DA=DE时，利用△ABD∽△DCE得到

x

y

=1，即x=y，得到一元二次方程-

1

6

x²+

4

3

x=x，解方程得x₁=0，x₂=2；当EA=ED时，得到∠EAD=∠ADE，而∠ADE=∠C，所以∠EAD=∠C，可判断△DAC∽△ABC，利用相似比得到

8-x

6

=

6

8

，解得x=

7

2

．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

，

6

8-x

=

x

y

，
∴y=-

1

6

x²+

4

3

x，
当x=4时，y=-

1

6

×16+

4

3

×4=

8

3

，
即当D为BC的中点时，CE的长为

8

3

；
（2）由（1）得y关于x的函数关系式为y=-

1

6

x²+

4

3

x（0≤x≤8）；
（3）∵∠AED＞∠C，
而∠B=∠ADE=∠C，
∴∠AED＞∠ADE，
∴AE＜AD，
当DA=DE时，
∵△ABD∽△DCE，
∴

AD

DE

=

BD

CE

，即

x

y

=1，
∴x=y，
∴-

1

6

x²+

4

3

x=x，解得x₁=0，x₂=2，
当EA=ED时，则∠EAD=∠ADE，
而∠ADE=∠C，
∴∠EAD=∠C，
∴△DAC∽△ABC，
∴

DC

AB

=

AC

BC

，即

8-x

6

=

6

8

，
∴x=

7

2

，
综上所述，当△ADE为等腰三角形，x的值为0或2或

7

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比．也考查了等腰三角形的性质．