Question

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，将其放入平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，△ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为π+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求出AB，由题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形是一个圆心角为135°，半径为$\sqrt{2}$的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；由扇形的面积和三角形的面积公式即可得出结果．

解答 解：∵∠C=90°，AC=BC=1，
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$；
根据题意得：$\sqrt{2}$△ABC绕点B顺时针旋转135°，BC落在x轴上；△ABC再绕点C顺时针旋转90°，AC落在x轴上，停止滚动；
∴点A的运动轨迹是：先绕点B旋转135°，再绕点C旋转90°；如图所示：
∴点A经过的路线与x轴围成的图形是：
一个圆心角为135°，半径为$\sqrt{2}$的扇形，加上△ABC，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；
∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积
=$\frac{135×π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{90×π×{1}^{2}}{360}$=π+$\frac{1}{2}$；
故答案为：π+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算公式；根据题意得出点A经过的路线与x轴围成的图形由三部分组成是解决问题的关键．