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【题目】如图,长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC在y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx经过点B(1,4)和点E(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点D在线段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D点的坐标;

(3)在条件(2)下,在抛物线的对称轴上找一点M,使得△BDM的周长为最小,并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标;

(4)在条件(2)下,从B点到E点这段抛物线的图象上,是否存在一个点P,使得△PAD的面积最大?若存在,请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=2x2+6x;(2)D(0,1);(3)BDM的周长最小值为,M();(4)点P的坐标为().

【解析】

试题分析:(1)将点B(1,4),E(3,0)的坐标代入抛物线的解析式,得到关于a、b的方程组,求得a、b的值,从而可得到抛物线的解析式;(2)依据同角的余角相等证明BDC=DE0,然后再依据AAS证明BDC≌△DEO,从而得到OD=AO=1,于是可求得点D的坐标;(3)作点B关于抛物线的对称轴的对称点B,连接BD交抛物线的对称轴与点M.先求得抛物线的对称轴方程,从而得到点B的坐标,由轴对称的性质可知当点D、M、B在一条直线上时,BMD的周长有最小值,依据两点间的距离公式求得BD和BD的长度,从而得到三角形的周长最小值,然后依据待定系数法求得D、B的解析式,然后将点M的横坐标代入可求得点M的纵坐标;(4)过点F作FGx轴,垂足为G.设点F(a,2a2+6a),则OG=a,FG=2a2+6a.然后依据SFDA=S梯形DOGFSODASAGF的三角形的面积与a的函数关系式,然后依据二次函数的性质求解即可.

试题解析:(1)将点B(1,4),E(3,0)的坐标代入抛物线的解析式得:

解得:a=-2,b=6,

抛物线的解析式为y=2x2+6x.

(2)如图1所示;

BDDE,

∴∠BDE=90°

∴∠BDC+EDO=90°

∵∠ODE+DEO=90°

∴∠BDC=DE0.

BDC和DOE中,

∴△BDC≌△DEO.

OD=AO=1.

D(0,1).

(3)如图2所示:作点B关于抛物线的对称轴的对称点B,连接BD交抛物线的对称轴与点M.

x==

点B的坐标为(2,4).

点B与点B关于x=对称,

MB=BM.

DM+MB=DM+MB

当点D、M、B在一条直线上时,MD+MB有最小值(即BMD的周长有最小值).

由两点间的距离公式可知:BD=,DB=

∴△BDM的最小值=

设直线BD的解析式为y=kx+b.

将点D、B的坐标代入得:

解得:k=,b=1.

直线DB的解析式为y=x+1.

将x=代入得:y=

M().

(4)如图3所示:过点F作FGx轴,垂足为G.

设点F(a,2a2+6a),则OG=a,FG=2a2+6a.

S梯形DOGF=(OD+FG)OG=2a2+6a+1)×a=a3+3a2+a,SODA=ODOA=×1×1=,SAGF=AGFG=a3+4a23a,

SFDA=S梯形DOGFSODASAGF=a2+a

当a=时,SFDA的最大值为

点P的坐标为().

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求证:

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(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.

(2)利用题中的结论,解答下列问题:

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分组

频数

百分比

600≤x<800

2

5%

800≤x<1000

6

15%

1000≤x<1200

a

40%

1200≤x<1400

9

22.5%

1400≤x<1600

b

c

1600≤x<1800

2

5%

合计

40

100%

根据以上提供的信息,解答下列问题:

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(2)补全频数分布直方图.

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