【题目】如图,长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上,OC在y轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx经过点B(1,4)和点E(3,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D在线段OC上,且BD⊥DE,BD=DE,求D点的坐标;
(3)在条件(2)下,在抛物线的对称轴上找一点M,使得△BDM的周长为最小,并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标;
(4)在条件(2)下,从B点到E点这段抛物线的图象上,是否存在一个点P,使得△PAD的面积最大?若存在,请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣2x2+6x;(2)D(0,1);(3)△BDM的周长最小值为,M(,);(4)点P的坐标为(,).
【解析】
试题分析:(1)将点B(1,4),E(3,0)的坐标代入抛物线的解析式,得到关于a、b的方程组,求得a、b的值,从而可得到抛物线的解析式;(2)依据同角的余角相等证明∠BDC=∠DE0,然后再依据AAS证明△BDC≌△DEO,从而得到OD=AO=1,于是可求得点D的坐标;(3)作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′,连接B′D交抛物线的对称轴与点M.先求得抛物线的对称轴方程,从而得到点B′的坐标,由轴对称的性质可知当点D、M、B′在一条直线上时,△BMD的周长有最小值,依据两点间的距离公式求得BD和B′D的长度,从而得到三角形的周长最小值,然后依据待定系数法求得D、B′的解析式,然后将点M的横坐标代入可求得点M的纵坐标;(4)过点F作FG⊥x轴,垂足为G.设点F(a,﹣2a2+6a),则OG=a,FG=﹣2a2+6a.然后依据S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF的三角形的面积与a的函数关系式,然后依据二次函数的性质求解即可.
试题解析:(1)将点B(1,4),E(3,0)的坐标代入抛物线的解析式得:,
解得:a=-2,b=6,
抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x.
(2)如图1所示;
∵BD⊥DE,
∴∠BDE=90°.
∴∠BDC+∠EDO=90°.
又∵∠ODE+∠DEO=90°,
∴∠BDC=∠DE0.
在△BDC和△DOE中,,
∴△BDC≌△DEO.
∴OD=AO=1.
∴D(0,1).
(3)如图2所示:作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′,连接B′D交抛物线的对称轴与点M.
∵x=﹣=,
∴点B′的坐标为(2,4).
∵点B与点B′关于x=对称,
∴MB=B′M.
∴DM+MB=DM+MB′.
∴当点D、M、B′在一条直线上时,MD+MB有最小值(即△BMD的周长有最小值).
∵由两点间的距离公式可知:BD=,DB′=,
∴△BDM的最小值=.
设直线B′D的解析式为y=kx+b.
将点D、B′的坐标代入得:,
解得:k=,b=1.
∴直线DB′的解析式为y=x+1.
将x=代入得:y=.
∴M(,).
(4)如图3所示:过点F作FG⊥x轴,垂足为G.
设点F(a,﹣2a2+6a),则OG=a,FG=﹣2a2+6a.
∵S梯形DOGF=(OD+FG)OG=(﹣2a2+6a+1)×a=﹣a3+3a2+a,S△ODA=ODOA=×1×1=,S△AGF=AGFG=﹣a3+4a2﹣3a,
∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣.
∴当a=时,S△FDA的最大值为.
∴点P的坐标为(,).
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【题目】尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.
求证:.
该同学仔细分析后,得到如下解题思路:
先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故,设PF=m,PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证.
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.
(2)利用题中的结论,解答下列问题:
在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求的值.
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【题目】小明在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区560户居民的家庭收入情况.他从中随机调查了一定户数的家庭收入情况(收入取整数,单位:元),并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图.
分组 | 频数 | 百分比 |
600≤x<800 | 2 | 5% |
800≤x<1000 | 6 | 15% |
1000≤x<1200 | a | 40% |
1200≤x<1400 | 9 | 22.5% |
1400≤x<1600 | b | c |
1600≤x<1800 | 2 | 5% |
合计 | 40 | 100% |
根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)频数分布表中:a= ,b= ,c= .
(2)补全频数分布直方图.
(3)请估计该居民小区家庭属于中等收入(大于1000不足1600元)的大约有多少户?
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【题目】如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在平面上的F点处,DF交BC于点E.
(1)求证:△DCE≌△BFE;
(2)若CD=2,∠ADB=30°,求BE的长.
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【题目】在“爱我永州”中学生演讲比赛中,五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下:
甲:8、7、9、8、8
乙:7、9、6、9、9
则下列说法中错误的是( )
A.甲、乙得分的平均数都是8
B.甲得分的众数是8,乙得分的众数是9
C.甲得分的中位数是9,乙得分的中位数是6
D.甲得分的方差比乙得分的方差小
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【题目】小红同学要测量A、C两地的距离,但A、C之间有一水池,不能直接测量,于是她在A、C同一水平面上选取了一点B,点B可直接到达A、C两地.她测量得到AB=80米,BC=20米,∠ABC=120°.请你帮助小红同学求出A、C两点之间的距离.(参考数据≈4.5, ≈4.6)
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【题目】下列有关圆的一些结论:①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°;②圆内接正六边形的边长与该圆半径相等;③垂直于弦的直径平分这条弦;④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ②③ D. ②④
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【题目】已知两组数据:a1,a2,a3,a4,a5和a1-1,a2-1,a3-1,a4-1,a5-1,下列判断中错误的是( )
A. 平均数不相等,方差相等 B. 中位数不相等,标准差相等
C. 平均数相等,标准差不相等 D. 中位数不相等,方差相等
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