Question

14．正△ABC，在边AB、BC、CA的正中间分别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LP=MQ=NR，当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XY=XL，这时，△XYZ的面积是△ABC的几分之几？请写出思考过程．

Answer 1

分析 根据对称性确定△XYZ是等边三角形，设出△XYZ的面积，证明△NYM的面积为△XYZ的面积的2倍，表示出△ABC的面积，得到答案．

解答 答：△XYZ的面积是△ABC的面积的$\frac{1}{28}$．
证明：连接LM、MN、LN，
∵BP=CQ=AR，∠A=∠B=∠C，BM=CN=AL，
∴△PBM≌△QCN≌△RAL，
∴∠BPM=∠CQN=∠ARL，
根据对称性可知，△XYZ是等边三角形，
又∵LP=MQ=NR，
∴△XPL≌△YQN≌△ZRN，
LX=YM=ZN=XY=XZ=YZ
设△XYZ的面积为a，
∵Z是YN的中点，
∴N到PM的距离为Z到PM的距离的2倍，
∴△NYM的面积为2a，
∵△PLM≌△QMN≌△RNL，
∴△XLM≌△YMN≌△ZNL，
∴△MNL的面积为7a，
△ABC的面积为28a，
∴△XYZ的面积是△ABC的面积的$\frac{1}{28}$．

点评 本题考查的是等边三角形的性质和三角形确定的判定和性质，设出△XYZ的面积，通过三角形确定和面积公式得到△ABC的面积是解题的关键，解答本题时，要求学生具有较强的逻辑思维能力和推理能力．