Question

【题目】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式;
（2）判断△ABM的形状，并说明理由
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，

∴A（﹣1，0），

又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，

∴B（2，3），

∵抛物线顶点在y轴上，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，

把A、B两点坐标代入可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣1

（2）

解：△ABM为直角三角形．理由如：

由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），

∴AM=，AB==，BM==，

∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，

∴△ABM为直角三角形

（3）

解：当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，

联立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，

∵平移后的抛物线总有不动点，

∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，

∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，

解得m≤，

即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．

【解析】（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2 ， 可判定△ABM为直角三角形；
（3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)，还要掌握勾股定理的概念(直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2)的相关知识才是答题的关键．