Question

6．如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，且DE=2AB，BM，EN是斜边上的中线
（1）求证：△BMC∽△ENF；
（2）若AC=3，求EN．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{BM}{EN}$，由直角三角形的性质得到CM=$\frac{1}{2}$AC，FN=$\frac{1}{2}$DF，于是得到$\frac{BC}{EF}=\frac{BM}{EN}=\frac{CM}{NF}$，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{DF}=\frac{AB}{DE}$=$\frac{1}{2}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）∵Rt△ABC∽Rt△DEF，BM，EN是斜边上的中线，
∴$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{BM}{EN}$，
∵CM=$\frac{1}{2}$AC，FN=$\frac{1}{2}$DF，
∴$\frac{BC}{EF}=\frac{BM}{EN}=\frac{CM}{NF}$，
∴△BMC∽△ENF；

（2）∵Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴$\frac{AC}{DF}=\frac{AB}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∵AC=3，
∴DF=6，
∵EN是斜边上的中线
∴EN=$\frac{1}{2}$DF=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．