Question

13．已知：如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm．延长FE，CD相交于点G．
（1）求证：△FCG是正三角形；
（2）求正三角形FCG的高线长．

Answer 1

分析 （1）根据正多边形的内角的计算公式：$\frac{（n-2）×180°}{n}$计算，求出∠EDG=∠DEG=60°，根据正三角形的判定定理证明结论；
（2）根据等腰三角形的三线合一和勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠CDE=∠DEF=$\frac{（6-2）×180°}{6}$=120°，
∴∠EDG=∠DEG=60°，
∴△EDG是正三角形，
∴∠G=60°，GE=GD，又EF=DC，
∴GF=GC，
∴△FCG是正三角形；
（2）解：连接FD，
∵△EDG是正三角形，
∴DG=DE，
又∵DG=DC，
∴CD=DG=6，又FC=FG，
∴FD⊥CG，
∴FD=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是正多边形和圆的关系，掌握正多边形的内角的计算公式：$\frac{（n-2）×180°}{n}$是解题的关键．