Question

如图，△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．有下列结论：
①AB∥CQ；②AQ与CQ互相垂直；③△APC∽△QCP；④△ABP≌△ACQ．
其中正确的有

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：根据等边三角形性质得出AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠CAQ，根据SAS证△ABP≌△ACQ，推出∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，根据平行线的判定推出即可，再根据等腰三角形性质求出∠BAP=30°，求出∠BAQ=90°，根据平行线性质得出∠AQC=90°，即可得出答案．

解答：证明：∵△ABC和△APQ是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠B=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC，
在△ABP和△ACQ中，

AB=AC ∠BAP=∠CAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），故④正确，
∴∠ACQ=∠B=60°=∠BAC，
∴AB∥CQ，故①正确，
人哟AQ与CQ能互相垂直，此时点P在BC的中点，
理由如下：
∵当P为BC边中点时，∠BAP=

1

2

∠BAC=30°，
∴∠BAQ=∠BAP+∠PAQ=30°+60°=90°，
又∵AB∥CQ，
∴∠AQC=90°，
即AQ⊥CQ，而此题没说明P为BC中点，故②不正确，
△APC和△QCP中只有一对对顶角相等，所以不可能判定这两个三角形相似，故③错误，
故答案为：①④

点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，平行线性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．