Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为斜边AC延长线上一点，过D点作BC的垂线交其延长线于点E，在AB的延长线上取一点F，使得BF=CE，连接EF．
（1）若AB=2，BF=3，求AD的长度；
（2）G为AC中点，连接GF，求证：∠AFG+∠BEF=∠GFE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证DE∥AB，可得△ABC∽△DEC，即可证明△CDE为等腰直角三角形，根据CE即可求得CD的长，根据AB可求得AC的长，根据AD=AC+CD即可解题；
（2）连接EG、BG，易证BG=CG，∠ABG=∠ACB=45°，即可证明△GBF≌△GCE，可得GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，即可证明△EFG为等腰直角三角形，可得∠GFE=∠GEF，根据∠GEF=∠BEG+∠BEF即可解题．

解答：解：（1）∵DE⊥BE，AB⊥BE，
∴DE∥AB，
∴△ABC∽△DEC，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∵CE=BF=3，∴CD=3

2

，
∵AB=2，∴AC=2

2

，
∴AD=AC+CD=5

2

；

（2）连接EG、BG，证明△GBF≌△GCE．：∠AFG+∠BEF=∠GFE．
∵G是等腰直角△ABC斜边AC中点，
∴BG=CG，∠ABG=∠ACB=45°，
∴∠GBF=∠GCE=135°，
∵在△GBF和△GCE中，

GB=GC ∠GBF=∠GCE BF=CE

，
∴△GBF≌△GCE，（SAS）
∴GE=GF，∠BGF=∠CGE，∠AFG=∠BEG，
∵∠BGF+∠FGC=90°，
∴∠CGE+∠FGC=90°，即∠EGF=90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠GFE=∠GEF=45°，
∵∠GEF=∠BEG+∠BEF，
∴∠GEF=∠AFG+∠BEF，
∴∠AFG+∠BEF=∠GFE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△GBF≌△GCE是解题的关键．