Question

观察：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）=1-

1

4

=

3

4

（1）计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

（2）计算：

3

1×2

+

3

2×3

+

3

3×4

+…+

3

n×(n+1)

（n为正整数）
（3）拓展应用：
①解方程：

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

②计算：

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+

1

10×13

+

1

13×16

．

Answer 1

考点：分式的加减法,解分式方程

专题：规律型

分析：（1）根据已知等式得出拆项规律，原式计算即可得到结果；
（2）原式提取3后，利用拆项法计算即可得到结果；
（3）①方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解；
②原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；
（2）原式=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=3（1-

1

n+1

）=

3n

n+1

；
（3）①方程变形得：

1

x-4

-

1

x-3

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
整理得：

1

x-4

=

2

x+1

，
去分母得：x+1=2x-8，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解；
②原式=

1

3

（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

13

-

1

16

）=

1

3

（1-

1

16

）=

5

16

．

点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．